在實驗中用達西實驗裝置

1. 滲流定律

（一）直線滲透定律

在滲流運動的研究中，該定律應用最為廣泛。它是由達西通過試驗求得的，也稱達西定律。

1.達西定律（線性滲透定律）

1856年，法國水力工程師亨利·達西通過如圖1-7所示裝置的試驗得到。試驗將均質砂土裝入直圓筒，在一維流條件下，經過不同流量的穩定流多次試驗，得出關系式：

地下水動力學

圖1-7 達西實驗裝置

式中：Q為流量，單位m³/d；K為均質砂的滲透系數，單位m/d；ω為筒的橫截面積或滲流過水斷面面積，單位m²；H₁，H₂為在滲流運動方向上相鄰為L的過水斷面1和2處的滲流水頭值（m）；

為兩過水斷面間的水力坡度，既可看做是平均值，也可認為是其間任一斷面上的水力坡度。這就是著名的達西定律。

式（1-19）可改寫為

Q=KωJ （1-19a）

亦可改寫為

V=KJ （1-19b）

該式表明，滲流速度V與水力坡度J呈線性關系，所以達西定律又稱直線滲透定律。

2.達西定律討論

（1）定律的微分形式

在均質各向同性含水介質中，呈一維流時：

地下水動力學

在均質各向同性含水介質中，呈二維流時：

地下水動力學

在均質各向同性含水介質中，呈三維流時：

地下水動力學

達西定律是在穩定運動條件下得到的。當滲流運動為非穩定運動時，任意瞬時滲流場中任一點處滲流速度與水力坡度的關系仍可用式（1-20）表示，只是滲流速度與水力坡度都隨時間在變化。

（2）定律適用范圍上限

近年來研究成果表明，達西定律並不是在所有的層流中都適用。當雷諾數（Re）增大時，水流的慣性力作用增強，盡管水流仍保持層流狀態，但滲流速度與水力坡度之間不再是線性關系，此時達西定律不適用。因此，慣性力小到可以忽略不計是達西定律適用條件之一。

由於介質空隙大小、形式、延伸方向等具隨機性，隨著雷諾數增大，孔隙中運動水流的臨界雷諾數變化范圍很大。若採用與有壓流雷諾數相同的公式形式，則有：

地下水動力學

式中：Re為雷諾數；d為空隙介質固體顆粒的平均粒徑，由實驗求得；ν為水的運動黏滯系數；V為滲流速度。

當Re＜10時，黏滯力起主導作用，水流保持層流狀態，服從直線滲透定律。當Re＞10時，雖仍保持層流狀態，但滲流速度與水力坡度的關系應為

，為非線性層流狀態，如圖1-8所示。此時，直線滲透定律已不適用。

圖1-8 J=f（V）關系曲線

圖1-9 粘土（含水率34.5%）的滲透試驗成果

（3）定律適用范圍下限

在黏性土中由於結合水的存在，必須在較大的水力坡度作用下，才能克服結合水的「堵塞」。由於有效過水斷面的變化（由小到大趨於某一定值），使水流運動由最初偏離直線滲透定律到過水斷面穩定不變時，又符合直線滲透定律（圖1-9）。把又符合直線滲透定律時的水力坡度作為定律適用下限。

3.達西定律的實質

根據

地下水動力學

得到

地下水動力學

把該式與伯諾里能量方程（H₁=H₂+h_w1-2）相比可知，

就是上、下游斷面間水頭損失h_w1-2。顯然，水頭（或能量）損失的大小與滲流速度、滲流途徑長度成正比，與空隙介質的透水性能成反比。達西定律實質上就是滲流的能量守恆或能量轉換定律。

4.關於滲透系數與滲透率

（1）滲透系數（K）

達西定律中的滲透系數K，是表示含水介質透水性能的重要水文地質參數。

由V=KJ知，當水力坡度（J）為1時，V=K，所以滲透系數具有滲透速度的量綱，單位為cm/s或m/d。

滲透系數不僅與介質本身有關，亦與運動在介質中的水的性質有關。具體是：①岩石性質，如粒度、成分、顆粒排列、充填情況、裂隙性及其發育程度；②滲透液體的物理性質：如容重、黏滯性。

（2）滲透率（K₀）

滲透率是表徵岩石滲透性質的常數，只反映空隙介質本身的滲透性，其大小僅與岩石的性質有關，與液體性質無關。滲透率的量綱為［L²］，常用的單位為D（達西）（D的定義是：當動力黏滯系數（ν）為0.001時，壓強差（p）為101325Pa的情況下通過面積為1cm²及長度為1cm的岩樣，其流量為1cm³時，岩樣的滲透率為1D，1D≈0.987×10^-12m²）。

（3）滲透系數（K）與滲透率（K₀）的關系

地下水動力學

式中：γ為水的容重；μ₀為水的動力黏滯系數。

在一般情況下地下水的容重與黏滯性變化不大，可以把滲透系數視為表示岩石透水性的常數。但對運動的熱水、鹵水，其容重、黏滯性不能忽略。

（二）非直線滲透定律

1）當地下水呈紊流態運動時，用哲才-克拉斯諾波里斯基公式表示紊流滲透基本定律：

Q=K_TωJ^1/2 （1-24）

或

V=K_TJ^1/2 （1-25）

式中：K_T為地下水呈紊流運動時，孔隙介質滲透系數。它與水的性質、孔隙介質特徵、固體骨架壁的粗糙度有關。

2）當地下水的運動范圍內層流與紊流並存時，適用斯姆列蓋爾提出的混合流公式：

Q=K_CωJ^1/m （1-26）

或

V=K_CJ^1/m （1-27）

式中：K_C為地下水流呈混合流時，孔隙介質的滲透系數；m為流態指數（1＜m＜2）。

（三）裘布依微分方程

1.微分方程的建立

（1）建立條件

①地下水絕大部分具有緩變流特徵；②含水層為均質各向同性。

（2）微分方程

為求均質各向同性含水層中，任一過水斷面（ω）上的流量（Q），根據裘布依微分方程表達式求dω上的dQ，即

地下水動力學

對整個過水斷面ω積分，得

地下水動力學

式中：

表示微分斷面dω上的水力坡度。

因此，在ω斷面的不同位置上其水力坡度值是不同的。但根據方程的建立條件，當地下水流為緩變流或沿流向剖面上水流具備緩變流特徵時，可將兩個互不平行的曲形過水斷面用兩個相互平行且垂直的平面代替。

如圖1-10所示，兩平面間的流線長度近似相同，並認為同一斷面上各點處的水頭相等，因而兩斷面間的水頭差也近似相等。鑒於此，認為緩變流條件下，同一平面過水斷面上各點的水力坡度近似相等，即

地下水動力學

因此，上式積分式可寫為

地下水動力學

地下水動力學

或

地下水動力學

式（1-28）和式（1-29）都是裘布依微分方程，是研究地下水運動十分重要的基本微分方程之一。

圖1-10 緩變流時水流示意圖

2.裘布依微分方程與達西微分方程的區別

裘布依微分方程中的

表示水流為緩變流或沿流向剖面上具有緩變流特徵時過水斷面的水力坡度，因而，式（1-29）的應用條件必須是層流及緩變流（沿流線的剖面上具有緩變流特徵）。而達西微分方程的

表示水流為黏滯力佔主導的層流時，過水斷面的水力坡度。

2. 實驗二 達西滲透實驗

1.實驗目的

1)通過穩定流條件下的滲透實驗，進一步加深理解線性滲透定律———達西定律。

2)加深理解滲透流速(v)、水力坡度(I)、滲透系數(K)之間的關系，並熟悉實驗室測定滲透系數(K)的方法。

2.實驗內容

1)了解達西滲透實驗裝置(圖B-2、圖B-3)。

2)驗證達西滲透定律。

3)測定不同試樣的滲透系數。

3.實驗原理

在岩石空隙中，由於水頭差的作用，水將沿著岩石的空隙運動。由於空隙的大小不同，水在其中運動的規律也不相同。實踐證明，在自然界絕大多數情況下，地下水在岩石空隙中的運動服從線性滲透定律:

圖B-2 達西儀裝置圖(底部進水)

水文地質學概論

式中:Q為滲透流量，m³/d或cm³/s;K為滲透系數，m/d或cm/s;ω為過水斷面面積，m²或cm²;Δh為上、下游過水斷面的水頭差，m或cm;L為滲透途徑的長度，m或cm;I為水力坡度(或稱水力梯度)， ;v為滲透流速，m/d或cm/s。

利用該實驗可驗證達西線性滲透定律:Q=KωI或v=KI。其主要內容為:流量(Q)(或v)與水力坡度(I)的一次方成正比。在實驗時多次調整水力坡度(改變水頭)，看其流量(Q)(或v)的變化是否與水力坡度一次方成正比關系。

實驗時，可直接測定流量(Q)、過水斷面面積(ω)和水力坡度(I)，從而可求出滲透系數(K)值

室內測定滲透系數，主要採用達西儀。其實驗方法有兩種:①達西儀由底部供水，出水口在上部(圖B-2)。實驗過程中，低水頭固定，調節高水頭;②達西儀是由頂部供水，水流經砂柱，由下端流出(圖B-3)。實驗過程中，高水頭固定，調節低水頭，即調節排水口的高低位置。由底部供水的優點是容易排出試樣中的氣泡，缺點是試樣易被沖動。由頂部供水的優缺點與前一種正好相反。本實訓以頂部供水的達西儀為例進行介紹。

4.實驗儀器及用品

1)達西儀(圖B-3)。

2)量筒(500mL)1個。

3)秒錶。

圖B-3 達西儀裝置圖(頂部進水)(編號說明見圖B-2)

4)搗棒。

5)試樣:①礫石(粒徑5～10mm);②砂(粒徑0.6～0.9mm);③砂礫混合(①與②混合)樣。

5.實驗步驟

(1)實驗前的准備工作

1)測量:分別測量金屬圓筒的內徑(d)，根據 計算出過水斷面面積(ω)和各測壓管的間距或滲透途徑(L)，將所得ω、L數據填入表B-2中。

2)裝樣:先在金屬圓筒底部金屬網上裝2～3cm厚的小砂石(防止細粒試樣被水沖走)，再將欲實驗的試樣分層裝入金屬圓筒中，每層3～6cm厚，搗實，使其盡量接近天然狀態的結構，然後自上而下進行注水(排水管2和水源5連接)，使砂逐漸飽和，但水不能超出試樣層面，待飽和後，停止注水。如此繼續分層裝入試樣並飽和，直至試樣高出上測壓管孔3～4cm為止，在試樣上再裝厚3～4cm小礫石作緩沖層，防止沖動試樣。

3)調試儀器:在每次試驗前，先給試樣注水，使試樣全部飽水(此時溢水管7有水流出)待滲流穩定後，停止注水。然後檢查3個測壓管中水面與金屬圓筒溢水面是否保持水平，如水平，說明管內無氣泡，可做實驗。如不水平，說明管內有氣泡，需排出。排氣泡的方法是用吸耳球對准水頭偏高的測壓管緩慢吸水，使管內氣泡和水流一起排出。用該方法使3個測壓管中水面水平，此時儀器方可進行實驗。

以上工作也可由實驗室教師在實驗課前完成。

(2)正式進行實驗

1)測定水頭:把水源5與排水管2分開，將排水管2放在一定高度上，打開水源5使金屬圓管內產生水頭差，水在試驗中從上往下滲透，並經排水口流出，此時溢水管7要有水溢出(保持常水頭)。當3個測壓管水頭穩定後，測得各測壓管的水頭，並計算出相鄰兩測壓管水頭差，填入表B-2中。

2)測定流量:在進行上述步驟的同時，利用秒錶和量筒測量時間(t)內排水管流出的水體積，及時計算流量(Q)。連續兩次，使流量的相對誤差小於5%(相對誤差(δ)= ，Q₁、Q₂分別為兩次實驗流量值，取平均值填入表B-2中。

表B-2 達西滲流實驗報告表

3)按由高到低或由低到高的順序，依次調節排水管口的高度位置，改變Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ3個測壓管的水頭管讀數。重復步驟1和2，做2～4次，即完成3～5次實驗，取得3～5組實驗數據。

實驗過程中注意:①實驗過程中要及時排除氣泡，並保持常水頭;②為准確繪制v-I曲線，要求測點分布均勻，即流量(水頭差)的變化要控制適度。

(3)資料整理

依據以上實驗數據，按達西公式計算出滲透系數值，並求出其平均值，填入表B-2中。

6.實驗成果

1)提交實驗報告(表B-2)。

2)抄錄其他小組另外兩種不同試樣的實驗數據(有時間時，可自己動手做)。在同一坐標系內，以v(滲透流速)為縱坐標，I(水力坡度)為橫坐標，繪出3種試樣的v-I曲線，驗證達西定律。

復習思考題

1.當試樣中水未流動時，3個測壓管的水頭與溢水口水面保持在同一高度，為什麼?

2.為什麼要在測壓管水頭穩定後再測定流量?

3.三種試樣的v-I曲線是否符合達西定律?試分析其原因。

4.比較不同試樣的滲透系數(K)值，分析影響K值的因素?

5.在實驗過程中為什麼要保持常水頭?

6.將達西儀平放或斜放進行實驗時，其實驗結果是否相同?為什麼?

3. 達西定律

法國水力工程師亨利·達西（Henry Darcy）為了研究Dijon市的供水問題而進行大量的砂柱滲流實驗，於1856年提出了線性滲流定律，即達西定律。達西所採用的實驗裝置如圖2.3所示。在直立的等直徑圓筒中裝有均勻的砂，水由圓筒上端流入經砂柱後由下端流出。在圓筒上端使用溢水設備控制水位，使其水頭保持不變，從而使通過砂柱的流量為恆定。在上、下端斷面1和斷面2 處各安裝一根測壓管分別測定兩個過水斷面處的水頭，並在下端出口處測定流量。根據實驗結果得到以下達西公式：

地下水科學概論（第二版·彩色版）

式中：Q為通過砂柱的流量（滲流量），m³/d；A為砂柱橫截面（過水斷面）面積，m²；h₁和h₂分別為上、下端過水斷面處的水頭，m；∆h=h₁-h₂為上、下端過水斷面之間的水頭差，m；L 為上、下端過水斷面之間的距離，m；I=∆h/L 為水力梯度，無量綱；K為均質砂柱的滲透系數，m/d。

式（2.2）表明，通過砂柱的滲流量（Q）與砂柱的滲透系數（K）、橫截面面積（A）及水頭差（∆h）成正比，而與滲流長度（L）成反比，也可以說滲流量（Q）與滲透系數（K）、橫截面面積（A）和水力梯度（I）成正比。而且，利用不同尺寸的實驗裝置進行達西實驗，即適當改變砂柱的滲透系數（K）、橫截面面積（A）及水頭差（∆h）與長度（L），都會得到式（2.2）的關系。

圖2.3 達西實驗裝置示意圖（截面圖）

另外，通過某一過水斷面的滲流量可以表示為

Q=vA （2.3）

式中：v為滲流速度。由此可以得到達西定律的另一種表示形式：

v=KIA （2.4）

式（2.4）表明滲流速度等於滲透系數與水力梯度的乘積。對於同一均質砂柱來說，其滲透系數通常為一常數，因而滲流速度與水力梯度的一次方成正比，故達西定律又稱為線性滲流定律。達西定律不僅對垂直向下通過均質砂柱的滲流是適用的，而且對於通過傾斜的、水平的及流向為自下而上的均質砂柱的滲流也是適用的，亦即和砂柱中的滲流方向與垂向方向的夾角大小無關。

式（2.4）中的滲流速度（v）實際上是一種平均流速，是水流通過包括空隙和固體骨架在內的過水斷面面積（A）的流速。由於過水斷面面積（A）中包括斷面上砂粒所佔據的面積和孔隙面積，而水流實際通過的面積只是孔隙實際過水面積A＇=n_eA，其中n_e為有效孔隙度。因此，水流通過實際過水斷面面積（A＇）的滲透速度（u，也是一種平均流速）為

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由於n_e＜1，所以滲流速度（v）總是小於滲透速度（u）。

式（2.2）或式（2.4）中的水力梯度I=∆h/L，為沿滲流途徑的水頭差（水頭損失）與相應滲流長度的比值。水頭損失是由於水質點通過多孔介質細小彎曲通道流動時為克服摩擦阻力而消耗的機械能，水頭差也稱為驅動水頭。因此，水力梯度也可以理解為水流通過單位長度滲流途徑為了克服摩擦阻力所耗失的機械能，或者理解為使水流以一定速度流動的驅動力。

圖2.4 均質潛水流動水力梯度示意圖（剖面圖）

在實際的地下水流動中，不同點的水力梯度可以不相同。例如在圖2.4所示的均質潛水流動中，在任意距離x處對應的潛水面處的水力梯度為 ∆h/∆s≈∆h/∆x=dh/dx。其中，∆s為水位線的一段弧長，∆h為對應的水頭差，∆x為∆s對應的水平距離。用微分形式dh/dx表示水力梯度，則意味著水力梯度沿水流方向是可以變化的。另外，實際過水斷面是一個曲面，難以求得其面積。如果假設潛水含水層中的地下水流基本上是水平流動（這一假設稱為裘布依假設）時，則x處的過水斷面可以近似看成是一個垂直斷面。這時以式（2.4）表示的達西定律可以寫成以下更一般的一維形式：

地下水科學概論（第二版·彩色版）

式（2.6）中等號右端的負號表示沿著地下水流動方向水頭是降低的。

達西公式（2.2）中的滲透系數（K，也有人稱之為水力傳導系數），可以定義為水力梯度等於1時的滲流速度（因為在式（2.4）中，當I=1時，v=K）。由式（2.4）可知，當I為一定值時，K越大則v就越大；當v為一定值時，K越大則I就越小。說明K越大時，砂柱的透水性越好，使水流的水頭損失越小。因此，滲透系數是表徵多孔介質透水能力的參數。

滲透系數既與多孔介質的空隙性質有關，也與滲透液體的物理性質（特別是黏滯性）有關：

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式中：K為滲透系數；k為滲透率（透水率）；ρ為液體的密度；g為重力加速度常數；μ為液體的動力黏滯系數。如果有兩種黏滯性不同的液體分別在同一介質中滲透，則動力黏滯系數大的液體滲流時介質的滲透系數會小於動力黏滯系數小的液體滲流時介質的滲透系數。在一般情況下，當地下水的物理性質變化不大時，可以忽略它們的影響，而把滲透系數單純地看作表徵介質透水性能的指標。在研究地下鹵水或熱水的運動時，由於它們的物理性質變化明顯而不能忽略。滲透率（k，也有人稱之為內在滲透率或固有滲透率）僅與介質本身的性質有關，取決於介質的空隙性，其中介質的空隙大小起著重要作用。已知介質的滲透率，可以利用式（2.7）計算介質的滲透系數。例如，已知k=2.3×10^-9cm²，並且ρ=1.0g/cm³，g=981cm/s₂，μ=0.01 g/（cm·s），則求得K=2.2563×10^-4cm/s（Hudak，2000）。

多孔介質的滲透系數或滲透率隨空間位置和方向可以發生變化。如果介質的滲透系數隨空間位置不發生變化，這種介質稱為均質介質，而發生變化的介質稱為非均質介質。如果介質中同一位置的滲透系數隨方向不發生變化，這種介質稱為各向同性介質，而發生變化的介質稱為各向異性介質。在某些情況下，介質的滲透系數也可以隨時間而發生變化。例如，由於外部荷載的增加導致介質的壓密可以降低介質的滲透系數。鹽岩晶間鹵水由於礦化度的升高或降低導致石鹽沉澱或溶解，可以使鹽岩的滲透系數降低或增大。在某些條件下，由於存在於介質中的生物活動可以逐漸堵塞空隙通道，可以使介質滲透系數逐漸減小。

滲透系數具有與滲流速度相同的單位，常用單位為m/d或cm/s。滲透率的常用單位為達西或毫達西，1達西=9.8697×10^-9cm²（相對於20℃的水而言）。表2.1列出了部分多孔介質的滲透系數的參考數值。

表2.1 多孔介質滲透系數單位：m/d

（據王大純等，1995；余鍾波等，2008）

雖然滲透系數（K）可以說明岩層的透水能力，但不能單獨說明含水層的出水能力。對於承壓含水層，由於其厚度（M）是定值，則T=KM也是定值。T稱為導水系數，它指的是在水力梯度等於1時流經整個含水層厚度上的單寬流量，常用單位是m²/d。導水系數是表徵承壓含水層導水能力的參數，只適用於二維流，對於三維流則沒有意義（Bear，1979）。

4. 地下水運動的基本規律

地下水具有流動性，為了確定其水量，就必須研究地下水運動的基本規律。以往的研究多集中於多孔介質飽水帶重力水的運動，但在解決地下水的補給、潛水蒸發以及污染質在包氣帶中的運移機理等實際問題時，卻涉及到包氣帶水以至結合水的運動，因此包氣帶水的運動規律的研究，近年來也越來越受到學者們的關注。

地下水在孔隙岩石中的運動稱為「滲流」（或滲透），滲流占據的空間稱滲流場。地下水在鬆散岩石粒間孔隙和寬度不很大的裂隙中流動時，流速很慢，加之受到介質固相表面的吸力較大，故水的質點排列有序，多呈「層流」運動。在個別寬大的洞穴和裂隙中，水流速度較大，水流質點呈無秩序的互相混亂流動，則屬於「紊流」運動。

水在滲流場內運動，當各個運動要素（水頭壓力、流速、流向）不隨時間變化時，稱為穩定流；當運動要素隨時間變化時稱為非穩定流。嚴格地講，自然界中的地下水運動都屬於非穩定流，但為了便於分析和運算，當上述運動要素變化微小時，也可看作為穩定流。

一、飽水帶重力水運動的基本規律

有關飽水帶重力水運動的第一個規律，是法國水力學家達西（H.Darcy）在1856年通過實驗得到的。

達西通過圓筒砂柱的滲透實驗裝置（圖3-4）得到了水頭高度不變條件下，砂層的滲透流量（Q）與水力坡度（I）和過水斷面（W）的關系式：

趨於零，則V_t=K，即入滲速度趨於定值。

5. 達西定律的相關信息

地下水在土體孔隙中滲透時，由於滲透阻力的作用，沿程必然伴隨著能量的損失版。為了揭示水在土權體中的滲透規律，法國工程師達西(H.darcy)經過大量的試驗研究，1856年總結得出滲透能量損失與滲流速度之間的相互關系即為達西定律。
達西實驗的裝置如圖1所示。裝置中的①是橫截面積為A的直立圓筒，其上端開口，在圓筒側壁裝有兩支相距為l 的側壓管。筒底以上一定距離處裝一濾板②，濾板上填放顆粒均勻的砂土。水由上端注入圓筒，多餘的水從溢水管③溢出，使筒內的水位維持一個恆定值。滲透過砂層的水從短水管④流入量杯⑤中，並以此來計算滲流量q。設△t時間內流入量杯的水體體積為△V, 則滲流量為q=△V /△t 。同時讀取斷面1-1和段面2-2處的側壓管水頭值h1，h2，Δh為兩斷面之間的水頭損失。
達西分析了大量實驗資料，發現土中滲透的滲流量q與圓筒斷面積A及水頭損失△h 成正比，與斷面間距l 成反比，即
式中i=△h/l，稱為水力梯度，也稱水力坡降；k為滲透系數，其值等於水力梯度為1時水的滲透速度，cm/s 。
式（1-1）和（1-2）所表示的關系稱為達西定律，它是滲透的基本定律。